在數學的分支泛函分析中,部分等距映射是希爾伯特空間之間的一種線性映射,它在核的正交補上的限制是一個等距映射。
其核的正交補稱為始子空間,其值域稱為終子空間。本文中,算子
的始、終子空間分別記作
。
一般定義[編輯]
部分等距的概念可以用其他等價的方式定義。設
是希爾伯特空間
的一個閉子集 ,而
是
上的等距映射,則我們可以定義
到
的一個擴張
,
在
的正交補上的值為零。因此,部分等距有時也被定義在閉集上局部定義了的等距映射。
基於*-半群,可以用更為抽象的方式來定義部分等距(以及投影),該定義與上文的定義是重合的。
有限維情況的特性[編輯]
在有限維向量空間中,矩陣
是一個部分等距若且唯若
是到其支撐集的投影。相比之下,等距映射的定義是更強的:矩陣
是一個等距映射若且唯若
。換句話說,等距對稱是一種單射的部分等距映射。
通過選擇適當的基,任何有限維的部分等距映射都可以表示為形如
的矩陣,也就是說,其前
列表示了一個等距映射,而所有其他列則都為零。
注意對於任何等距映射
,其埃爾米特共軛
都是一個部分等距映射,儘管並非每個部分等距映射都具有這種形式。
算子代數[編輯]
在算子代數中,可用下面的方式[需要更深入解釋]引入始子空間和終子空間:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b935c0bcf2268c220a5feee86896ca0ed0eb2f0a)
C*-代數[編輯]
對於C*-代數,由於C*-性質,存在等價鏈:
![{\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1df0abc6398de43d2332f63f263b875ba20d04)
因此可由上式中的任意一條來定義部分等距,而到始、終子空間的投影分別為
。
一對按等價關係劃分[需要更深入解釋]的投影:
![{\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64505e750fb0ab56a1d06eb6dfb8dfa0dcffd93)
它在C*-代數的K-理論和馮諾依曼代數中的Murray-馮諾依曼投影理論中發揮著重要作用。
幾類重要的部分等距映射[編輯]
投影算子[編輯]
任何正交投影算子都是始、終子空間為同一子空間的部分等距:
![{\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f21dafc573077f335cdce69dae20e989306616)
嵌入映射[編輯]
任何等距嵌入映射都是始子空間為全空間的部分等距:
![{\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e15a451f500617b3094bf456fe47a09a27891244)
么正算子[編輯]
任何么正算子都是始、終子空間為全空間的部分等距:
![{\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a220edd0b005192f038cb386ec8f4bb2c38ade63)
冪零矩陣[編輯]
在二維復希爾伯特空間上的矩陣
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2c2adffe3e1a938568783836cd8125f9b407c8)
是一個部分等距,其始子空間為
![{\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c652cf4479defde4c3f6df110cc61013dbae92)
而終子空間為
![{\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d396c6f7d799f78cfb26c32873f6df446b5a84)
一般有限維示例[編輯]
有限維中的其他可能例子有
![{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d5cf844af8671c31ca6b993d7beb95e1edca60)
這顯然不是等距映射,因為列之間不正交。然而,它的支撐集是
![{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b50f2a92be6581b626f13119baf529f8718929f)
和
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd71e04d06704e07e4d1ce47a15566bf5f07431)
的
線性生成空間,若將
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
限制在這個空間上,就得到一個等距映射(特別地,也是一個么正算子)。類似地,可以驗證
![{\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d218b3e32d4d2aa34ead3eab216269a953a3d700)
,也就是說
![{\displaystyle A^{*}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e11e97df5a2c7e9c34416af7209e20c55db10ace)
是到其支撐集上的投影。部分等距不一定對應於
方陣。例如,
![{\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd208b3c3625da8c10a210e7aca93f469d9ae9ac)
該矩陣的支撐集由
![{\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b50f2a92be6581b626f13119baf529f8718929f)
和
張成,並在該子空間上成為一等距映射(特別地,是其上的
恆等映射)。
還有一個例子
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357ec27f2cf1153d904845909e7d566729513903)
這次
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
在其支撐集上表現為一個非平凡的等距映射。
容易驗證
以及
,這表明了
在其支撐集
與其值域
間的等距性質。
左平移和右平移[編輯]
平方可和序列空間上的左平移和右平移算子
![{\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881e7ac9535226e1a8d1157631f17b2af38ca17f)
![{\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c694f70486f7004def0477eb7a701e586ecb0bf4)
有下列關係
![{\displaystyle R^{*}=L.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c465e19ff6affa586ceefca2619fa79ad08a0373)
而左平移和右平移算子是部分等距映射,其始子空間由以下向量構成
![{\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f447fa015df6acc10b52f92c44894c413531a9)
其終子空間則是:
![{\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e8a7322ee1a547b1062ea65d303ff9dbb26582)
參考資料[編輯]
- Conway, John Bligh. A course in operator theory. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1999. ISBN 0-8218-2065-6.
- Carey, R. W.; Pincus, J. D. An Invariant for Certain Operator Algebras. Proceedings of the National Academy of Sciences. May 1974, 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. PMC 388361
. PMID 16592156. doi:10.1073/pnas.71.5.1952
.
- Paterson, Alan L. T. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Boston: Birkhäuser. 1999. ISBN 0-8176-4051-7.
- Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 981-02-3316-7.
- Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. Partially isometric matrices: A brief and selective survey. 2019. arXiv:1903.11648
[math.FA].
外部連結[編輯]