部分等距映射

在数学的分支泛函分析中，部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射，它在核的正交补上的限制是一个等距映射。

其核的正交补称为始子空间，其值域称为终子空间。本文中，算子 $W$ 的始、终子空间分别记作 ${\mathcal {I}}W,{\mathcal {F}}W$ 。

一般定义

部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设 $H_{1}$ 是希尔伯特空间 $H$ 的一个闭子集 ，而 $U$ 是 $H_{1}$ 上的等距映射，则我们可以定义 $U$ 到 $H$ 的一个扩张 $W$ ， $W$ 在 $H_{1}$ 的正交补上的值为零。因此，部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。

基于*-半群，可以用更为抽象的方式来定义部分等距（以及投影），该定义与上文的定义是重合的。

有限维情况的特性

在有限维向量空间中，矩阵 $A$ 是一个部分等距当且仅当 $A^{*}A$ 是到其支撑集的投影。相比之下，等距映射的定义是更强的：矩阵 $V$ 是一个等距映射当且仅当 $V^{*}V=I$ 。换句话说，等距对称是一种单射的部分等距映射。

通过选择适当的基，任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如 $A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}$ 的矩阵，也就是说，其前 $\operatorname {rank} (A)$ 列表示了一个等距映射，而所有其他列则都为零。

注意对于任何等距映射 $V$ ，其埃尔米特共轭 $V^{*}$ 都是一个部分等距映射，尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。

算子代数

在算子代数中，可用下面的方式引入始子空间和终子空间：

${\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.$

C*-代数

对于C*-代数，由于C*-性质，存在等价链：

$(W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}$

因此可由上式中的任意一条来定义部分等距，而到始、终子空间的投影分别为 $W^{*}W,WW^{*}$ 。

一对按等价关系划分的投影：

$P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}$

它在C*-代数的K-理论和冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。

几类重要的部分等距映射

投影算子

任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距：

$P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P$

嵌入映射

任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距：

$J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}$

幺正算子

任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距：

$U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}$

例子

幂零矩阵

在二维复希尔伯特空间上的矩阵

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

是一个部分等距，其始子空间为

$\{0\}\oplus \mathbb {C}$

而终子空间为

$\mathbb {C} \oplus \{0\}.$

一般有限维示例

有限维中的其他可能例子有

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.$$

这显然不是等距映射，因为列之间不正交。然而，它的支撑集是 $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})$ 的线性生成空间，若将 $A$ 限制在这个空间上，就得到一个等距映射（特别地，也是一个幺正算子）。类似地，可以验证 $A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}$ ，也就是说 $A^{*}A$ 是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于方阵。例如，

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$$

该矩阵的支撑集由 $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$和$\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)$ 张成，并在该子空间上成为一等距映射（特别地，是其上的恒等映射）。

还有一个例子

$$A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},$$

这次 $A$ 在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。

容易验证 $A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}$ 以及 $A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}$ ，这表明了 $A$ 在其支撑集 $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})$ 与其值域 $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})$ 间的等距性质。

左平移和右平移

平方可和序列空间上的左平移和右平移算子

$R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )$

$L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )$

有下列关系

$R^{*}=L.$

而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空间由以下向量构成

$LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )$

其终子空间则是：

$RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).$

参考资料

• Conway, John Bligh. A course in operator theory. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1999. ISBN 0-8218-2065-6. 
• Carey, R. W.; Pincus, J. D. An Invariant for Certain Operator Algebras. Proceedings of the National Academy of Sciences. May 1974, 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. PMC 388361 . PMID 16592156. doi:10.1073/pnas.71.5.1952 . 
• Paterson, Alan L. T. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Boston: Birkhäuser. 1999. ISBN 0-8176-4051-7. 
• Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 981-02-3316-7. 
• Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. Partially isometric matrices: A brief and selective survey. 2019. arXiv:1903.11648  [math.FA]. 

外部链接

• 重要性质及证明
• 替代证明