四維凸正多胞體

超立方體是6個四維凸正多胞體之一

在數學中，四維凸正多胞體（英語：convex regular polychoron）是指一類既是凸的又是正的的四維多胞體（4-多胞形）。它們是正多面體（三維）和正多邊形（二維）的四維類比。它們最先在19世紀被數學家路德維希·施萊夫利所發現，其中五個與五個柏拉圖立體一一對應，另外一個（正二十四胞體）沒有好的三維類比。

每個四維凸正多胞體必須有同種的同樣大小的凸正多面體胞面面相接構成，並且每個頂點周圍必須有相同數量的胞。

特性

下面的表格描述了六個四維凸正多胞體的基本特性，表格的最後一列給出了它們所屬的考克斯特群，形象化描述了它們在一系列鏡面反射中的抽象群；及這個群的階。

名稱	家族	施萊夫利 符號	頂點	邊	面	胞	頂點圖	對偶	對稱群
正五胞體 超稜錐 超正四面體 四維單純形	單純形 （n-單純形）	{3,3,3}	5	10	10 正三角形	5 正四面體	正四面體	（自身對偶）	A4	120
正八胞體 超正方體 超立方體 四維立方體	立方形 （n-立方形）	{4,3,3}	16	32	24 正四邊形	8 正六面體	正四面體	正十六胞體	B4	384
正十六胞體 超正八面體 四維正軸形	正軸形 （n-正軸形）	{3,3,4}	8	24	32 正三角形	16 正四面體	正八面體	正八胞體	B4	384
正二十四胞體 截半正十六胞體 重正八面體	（沒有好的其他維度類比）	{3,4,3}	24	96	96 正三角形	24 正八面體	正六面體	（自身對偶）	F4	1152
正一百二十胞體 超正十二面體 重正十二面體	正十二面體形 類五邊形形 （n-類五邊形形）	{5,3,3}	600	1200	720 正五邊形	120 正十二面體	正四面體	正六百胞體	H4	14400
正六百胞體 重正四面體 超正二十面體	正二十面體形 類二十面體形 （n-類二十面體形）	{3,3,5}	120	720	1200 正三角形	600 正四面體	正二十面體	正一百二十胞體	H4	14400

這6個四維凸正多胞體都是表面與三維球面（S³）同胚的單連通多胞體，所以它們的歐拉示性數都為0，因此我們有以下歐拉公式的四維類比：

$V-E+F-C=0$

其中$V$代表零維頂點數，$E$代表一維棱數，$F$代表二維面數，$C$代表三維胞數。

可視化

以下的表格展示了6個四維凸正多胞體的多種二維投影（更多圖像可以在各自的頁面里找到）。表頭給出了多胞體的施萊夫利符號和考克斯特符號。

正五胞體	正八胞體	正十六胞體	正二十四胞體	正一百二十胞體	正六百胞體
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
皮特里多邊形正對的正交線架投影.
三維固體填充正交投影
正四面體 凸包 （胞在前／頂點在前）	立方體凸包 （胞在前）	立方體凸包 （胞在前）	截半立方體 凸包 （胞在前）	截角菱形 三十面體 凸包 （胞在前）	五角化截半 十二面體 凸包 （頂點在前）
線架施萊格爾投影（透視投影）
（胞在前）	（胞在前）	（胞在前）	（胞在前）	（胞在前）	（頂點在前）
線架球極投影（四維超球球極投影）

參考

• H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., John Wiley & Sons Inc., 1969. ISBN 0-471-50458-0.
• H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8.
• D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 四维凸正多胞体. MathWorld. 

四維正多胞體
正五胞體	超立方體	正十六胞體	正二十四胞體	正一百二十胞體	正六百胞體
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}