變分自編碼器

機器學習中，變分自編碼器（Variational Autoencoder，VAE）是由Diederik P. Kingma和Max Welling提出的一種人工神經網絡結構，屬於概率圖模式和變分貝葉斯方法。

VAE與自編碼器模型有關，因為兩者在結構上有一定親和力，但在目標和數學表述上有很大區別。VAE屬於概率生成模型（Probabilistic Generative Model），神經網絡僅是其中的一個組件，依照功能的不同又可分為編碼器和解碼器。編碼器可將輸入變量映射到與變分分布的參數相對應的潛空間（Latent Space），這樣便可以產生多個遵循同一分布的不同樣本。解碼器的功能基本相反，是從潛空間映射回輸入空間，以生成數據點。雖然噪聲模型的方差可以單獨學習而來，但它們通常都是用重參數化技巧（Reparameterization Trick）來訓練的。

此類模型最初是為無監督學習設計的，但在半監督學習和監督學習中也表現出卓越的有效性。

結構與操作概述

VAE是一個分別具有先驗和噪聲分布的生成模型，一般用最大期望算法（Expectation-Maximization meta-algorithm）來訓練。這樣可以優化數據似然的下限，用其它方法很難實現這點，且需要q分布或變分後驗。這些q分布通常在一個單獨的優化過程中為每個單獨數據點設定參數；而VAE則用神經網絡作為一種攤銷手段來聯合優化各個數據點，將數據點本身作為輸入，輸出變分分布的參數。從一個已知的輸入空間映射到低維潛空間，這是一種編碼過程，因此這張神經網絡也叫「編碼器」。

解碼器則從潛空間映射回輸入空間，如作為噪聲分布的平均值。也可以用另一個映射到方差的神經網絡，為簡單起見一般都省略掉了。這時，方差可以用梯度下降法進行優化。

優化模型常用的兩個術語是「重構誤差（reconstruction error）」和「KL散度」。它們都來自概率模型的自由能表達式（Free Energy Expression ），因而根據噪聲分布和數據的假定先驗而有所不同。例如，像IMAGENET這樣的標準VAE任務一般都假設具有高斯分布噪聲，但二值化的MNIST這樣的任務則需要伯努利噪聲。自由能表達式中的KL散度使得與p分布重疊的q分布的概率質量最大化，但這樣可能導致出現搜尋模態（Mode-Seeking Behaviour）。自由能表達式的剩餘部分是「重構」項，需要用採樣逼近來計算其期望。

系統闡述

VAE的基本框架。模型接受$x$為輸入。編碼器將其壓縮到潛空間。解碼器以在潛空間採樣的信息為輸入，並產生${x'}$，使其與$x$儘可能相似。

從建立概率模型的角度來看，人們希望用他們選擇的參數化概率分布$p_{\theta }(x)=p(x|\theta )$使數據$x$的概率最大化。這一分布常是高斯分布$N(x|\mu ,\sigma )$，分別參數化為$\mu$和$\sigma$，作為指數族的一員很容易作為噪聲分布來處理。簡單的分布很容易最大化，但如果假設了潛質（latent）$z$的先驗分布，可能會產生難以解決的積分。讓我們通過對$z$的邊緣化找到$p_{\theta }(x)$。

$p_{\theta }(x)=\int _{z}p_{\theta }({x,z})\,dz,$

其中，$p_{\theta }({x,z})$表示可觀測數據$x$於$p_{\theta }$下的聯合分布，和在潛空間中的形式（也就是編碼後的$z$）。根據連鎖法則，方程可以改寫為

$p_{\theta }(x)=\int _{z}p_{\theta }({x|z})p_{\theta }(z)\,dz$

在香草VAE中，通常認為$z$是實數的有限維向量，$p_{\theta }({x|z})$則是高斯分布。那麼$p_{\theta }(x)$便是高斯分布的混合物。

現在，可將輸入數據和其在潛空間中的表示的映射定義為

• 先驗$p_{\theta }(z)$
• 似然值$p_{\theta }(x|z)$
• 後驗$p_{\theta }(z|x)$

不幸的是，對$p_{\theta }(x)$的計算十分困難。為了加快計算速度，有必要再引入一個函數，將後驗分布近似為

$q_{\phi }({z|x})\approx p_{\theta }({z|x})$

其中$\phi$是參數化的$q$的實值集合。這有時也被稱為「攤銷推理」（amortized inference），因為可以通過「投資」找到好的$q_{\phi }$，之後不用積分便可以從$x$快速推斷出$z$。

這樣，問題就變成了找到一個好的概率自編碼器，其中條件似然分布$p_{\theta }(x|z)$由概率解碼器（probabilistic decoder）計算得到，後驗分布近似$q_{\phi }(z|x)$由概率編碼器（probabilistic encoder）計算得到。

下面將編碼器參數化為$E_{\phi }$，將解碼器參數化為$D_{\theta }$。

證據下界（Evidence lower bound，ELBO）

如同每個深度學習問題，為了通過反向傳播算法更新神經網絡的權重，需要定義一個可微損失函數。

對於VAE，這一思想可以實現為聯合優化生成模型參數$\theta$和$\phi$，以減少輸入輸出間的重構誤差，並使$q_{\phi }({z|x})$儘可能接近$p_{\theta }(z|x)$。重構損失常用均方誤差和交叉熵。

作為兩個分布之間的距離損失，反向KL散度$D_{KL}(q_{\phi }({z|x})\parallel p_{\theta }({z|x}))$可以很有效地將$q_{\phi }({z|x})$擠壓到$p_{\theta }(z|x)$之下。

剛剛定義的距離損失可擴展為

${\begin{aligned}D_{KL}(q_{\phi }({z|x})\parallel p_{\theta }({z|x}))&=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {q_{\phi }(z|x)}{p_{\theta }(z|x)}}\right]\\&=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {q_{\phi }({z|x})p_{\theta }(x)}{p_{\theta }(x,z)}}\right]\\&=\ln p_{\theta }(x)+\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {q_{\phi }({z|x})}{p_{\theta }(x,z)}}\right]\end{aligned}}$

現在定義證據下界（Evidence lower bound，ELBO）：

$$L_{\theta ,\phi }(x):=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]=\ln p_{\theta }(x)-D_{KL}(q_{\phi }({\cdot |x})\parallel p_{\theta }({\cdot |x}))$$

使ELBO最大化

$$\theta ^{*},\phi ^{*}={\underset {\theta ,\phi }{\operatorname {argmax} }}\,L_{\theta ,\phi }(x)$$

等於同時最大化$\ln p_{\theta }(x)$、最小化$D_{KL}(q_{\phi }({z|x})\parallel p_{\theta }({z|x}))$。即，最大化觀測數據似然的對數值，同時最小化近似後驗$q_{\phi }(\cdot |x)$與精確後驗$p_{\theta }(\cdot |x)$的差值。

給出的形式不大方便進行最大化，可以用下面的等價形式：

$$L_{\theta ,\phi }(x)=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln p_{\theta }(x|z)\right]-D_{KL}(q_{\phi }({\cdot |x})\parallel p_{\theta }(\cdot ))$$

其中$\ln p_{\theta }(x|z)$實現為$\|x-D_{\theta }(z)\|_{2}^{2}$，因為這是在加性常數的前提下$x\sim {\mathcal {N}}(D_{\theta }(z),I)$得到的東西。也就是說，我們把$x$在$z$上的條件分布建模為以$D_{\theta }(z)$為中心的高斯分布。$q_{\phi }(z|x)$和$p_{\theta }(z)$的分布通常也被選為高斯分布，因為$z|x\sim {\mathcal {(}}E_{\phi }(x),\sigma _{\phi }(x)^{2}I)$和$z\sim {\mathcal {(}}0,I)$可以通過高斯分布的KL散度公式得到：

$$L_{\theta ,\phi }(x)=-{\frac {1}{2}}\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\|x-D_{\theta }(z)\|_{2}^{2}\right]-{\frac {1}{2}}\left(N\sigma _{\phi }(x)^{2}+\|E_{\phi }(x)\|_{2}^{2}-2N\ln \sigma _{\phi }(x)\right)+Const$$

重參數化

重參數化技巧方案。隨機變量${\varepsilon }$可作為外部輸入注入潛空間$z$，這樣一來便可以不更新隨機變量，而反向傳播梯度。

有效搜索到

$$\theta ^{*},\phi ^{*}={\underset {\theta ,\phi }{\operatorname {argmax} }}\,L_{\theta ,\phi }(x)$$

的典型方法是梯度下降法。

它可以很直接地找到

$$\nabla _{\theta }\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]=\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\nabla _{\theta }\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]$$

但是，

$$\nabla _{\phi }\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]$$

不允許將$\nabla _{\phi }$置於期望中，因為$\phi$出現在概率分布本身之中。重參數化技巧（也被稱為隨機反向傳播）則繞過了這個難點。

最重要的例子是當$z\sim q_{\phi }(\cdot |x)$遵循常態分布時，如${\mathcal {N}}(\mu _{\phi }(x),\Sigma _{\phi }(x))$。

重參數化技巧之後的VAE方案

可以通過讓${\boldsymbol {\varepsilon }}\sim {\mathcal {N}}(0,{\boldsymbol {I}})$構成「標準隨機數生成器」來實現重參數化，並將$z$構建為$z=\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon$。這裡，$L_{\phi }(x)$通過科列斯基分解得到：

$$\Sigma _{\phi }(x)=L_{\phi }(x)L_{\phi }(x)^{T}$$

接著我們有

$$\nabla _{\phi }\mathbb {E} _{z\sim q_{\phi }(\cdot |x)}\left[\ln {\frac {p_{\theta }(x,z)}{q_{\phi }({z|x})}}\right]=\mathbb {E} _{\epsilon }\left[\nabla _{\phi }\ln {\frac {p_{\theta }(x,\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon )}{q_{\phi }(\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon |x)}}\right]$$

由此，我們得到了梯度的無偏估計，這就可以應用隨機梯度下降法了。

由於我們重參數化了$z$，所以需要找到$q_{\phi }(z|x)$。令$q_{0}$為$\epsilon$的概率密度函數，那麼

$$\ln q_{\phi }(z|x)=\ln q_{0}(\epsilon )-\ln |\det(\partial _{\epsilon }z)|$$

，其中$\partial _{\epsilon }z$是$\epsilon$相對於$z$的雅可比矩陣。由於$z=\mu _{\phi }(x)+L_{\phi }(x)\epsilon$，這就是

$$\ln q_{\phi }(z|x)=-{\frac {1}{2}}\|\epsilon \|^{2}-\ln |\det L_{\phi }(x)|-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )$$

變體

許多VAE的應用和擴展已被用來使其適應其他領域，並提升性能。

$\beta$-VAE是帶加權KL散度的實現，用於自動發現並解釋因子化的潛空間形式。這種實現可以對大於1的$\beta$值強制進行流形分解。這個架構可以在無監督下發現解耦的潛因子。

條件性VAE（CVAE）在潛空間中插入標籤信息，強制對所學數據進行確定性約束表示（Deterministic Constrained Representation）。

一些結構可以直接處理生成樣本的質量，或實現多個潛空間，以進一步改善表徵學習的效果。

一些結構將VAE和生成對抗網絡混合起來，以獲得混合模型。

另見

• 自編碼器
• 人工神經網絡
• 深度學習
• 生成對抗網絡
• 表徵學習
• 稀鬆字典學習
• 數據增強
• 反向傳播算法