欧拉运动定律

莱昂哈德·欧拉

欧拉运动定律（Euler's laws of motion）是牛顿运动定律的延伸，可以应用于多粒子系统运动或刚体运动，描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪，于1750年，莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。

刚体也是一种多粒子系统，但理想刚体是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到作用力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会改变。

欧拉运动定律也可以加以延伸，应用于可变形体内任意部分的平移运动与旋转运动。

刚体

欧拉第一运动定律

欧拉第一定律表明，从某惯性参考系观测，施加于刚体的合外力，等于刚体质量与质心加速度的乘积。欧拉第一定律以方程表达为

$\mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}$ ；

其中，$\mathbf {F} ^{(ext)}$ 是刚体感受到的合外力，$m$ 、$\mathbf {a} _{cm}$ 分别是刚体的质量、质心加速度。

刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子，感受到同样的合外力，而呈现的运动。

导引

思考由 $n$ 个粒子组成的多粒子系统，其质心位置 $\mathbf {r} _{cm}$ 为

$\mathbf {r} _{cm}{\stackrel {def}{=}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{m}}$ ;

其中，$m_{i}$ 、$\mathbf {r} _{i}$ 分别为第 $i$ 个粒子的质量、位置，$m=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$ 是系统的质量。

质心速度 $\mathbf {v} _{cm}$ 为

$\mathbf {v} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{m}}$ ；

其中，$\mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}$ 是第 $i$ 个粒子的速度。

质心加速度 $\mathbf {a} _{cm}$ 为

$\mathbf {a} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {a} _{i}}{m}}$ ；

其中，$\mathbf {a} _{i}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}$ 是第 $i$ 个粒子的加速度。

第 $i$ 个粒子感受到的力 $\mathbf {F} _{i}$ 为

$\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}$ ；

其中，$\mathbf {F} _{i}^{(ext)}$ 是这粒子感受到的外力，$\mathbf {F} _{ji}$ 是第 $j$ 个粒子施加于第 $i$ 个粒子的内力。

系统感受到的合力 $\mathbf {F}$ 是所有粒子感受到的力的向量和：

$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}$ 。

根据牛顿第三定律，内力与其反作用力的关系为

$\mathbf {F} _{ji}=-\mathbf {F} _{ji}$ 。

所以，所有粒子彼此施加于对方的内力的向量和为零，合力等于所有外力的向量和 （合外力 $\mathbf {F} ^{(ext)}$ ）：

$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}=\mathbf {F} ^{(ext)}$ 。

根据牛顿第二定律，第 $i$ 个粒子感受到的力 $\mathbf {F} _{i}$ 与这粒子的加速度之间的关系为

$\mathbf {F} _{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}$ 。

总和所有粒子所感受到的力，

$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}m_{i}\mathbf {a} _{i}=m\mathbf {a} _{cm}$ 。

所以，合外力 $\mathbf {F} ^{(ext)}$ 与质心加速度的关系为

$\mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}$ 。

动量守恒定律

多粒子系统的动量 $\mathbf {p}$ 是组成这系统的所有粒子的动量的向量和：

$\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}=m\mathbf {v} _{cm}$ ；

其中，$\mathbf {p} _{i}$ 是第 $i$ 个粒子的动量。

欧拉第一定律又可以表达为

$\mathbf {F} ^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 。

假设合外力为零，则系统的动量守恒。

欧拉第二运动定律

欧拉第二定律表明，设定某惯性参考系的固定点O（例如，原点）为参考点，施加于刚体的净外力矩，等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程表达为

${\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}$ ；

其中，${\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}$ 是对于点O合外力矩，$\mathbf {L} _{O}$ 是对于点O的角动量。

导引

思考由 $n$ 个粒子组成的多粒子系统。对于点O，第 $i$ 个粒子的角动量 $\mathbf {L} _{i}$ 为

$\mathbf {L} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}$ 。

$\mathbf {L} _{i}$ 对于时间的导数为

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i})}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}$ 。

根据牛顿第二定律，施加于第 $i$ 个粒子的力 $\mathbf {F} _{i}$ 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以，$\mathbf {L} _{i}$ 对于时间的导数为

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$ 。

第 $i$ 个粒子所感受到的合力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{i}$ 为 ${\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$ 。所以，${\boldsymbol {\tau }}_{i}$ 与 $\mathbf {L} _{i}$ 的关系为

${\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}$ 。

总和所有粒子所感受到的合力矩，系统所感受到的合力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{O}$ 与其角动量 $\mathbf {L} _{O}$ 的关系为

${\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}$ 。

第 $i$ 个粒子所感受到的合力 $\mathbf {F} _{i}$ 为

$\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}$ 。

第 $i$ 个粒子所感受到的合力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{i}$ 为

${\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}$ 。

物体感受到的合力矩 ${\boldsymbol {\tau }}_{O}$ 为：

${\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}$ 。

应用牛顿第三定律，

$\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {F} _{ji}$ ；

其中，$\mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}$ 是从粒子 $\mathbf {r} _{j}$ 到粒子 $\mathbf {r} _{i}$ 的位移向量。

假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律，即粒子运动为经典运动，速度超小于光速，则$\mathbf {r} _{ij}$ 与 $\mathbf {F} _{ji}$ 同向，叉积为零。那么，物体感受到的合力矩是所有外力矩的向量和 ${\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}$ ：

${\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}={\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}$ 。

这样，可以得到欧拉第二定律方程

${\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}$ 。

假设施加于系统的合外力矩为零，则系统的角动量的时间变化率为零，系统的角动量守恒。

相对于质心的欧拉第二运动定律

所有粒子所感受到的合力矩的向量和为

${\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{cm}+\mathbf {r} '_{i})\times (m_{i}(\mathbf {a} _{cm}+\mathbf {a} '_{i}))$ ；

其中，$\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{cm}$ 、$\mathbf {a} '_{i}=\mathbf {a} _{i}-\mathbf {a} _{cm}$ 分别是第 $i$ 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。

注意到所有粒子的相对位移与相对加速度，其向量和分别为零，所以，

${\boldsymbol {\tau }}_{O}=\mathbf {r} _{cm}\times m\mathbf {a} _{cm}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}$ 。

现在，假设将质心设定为参考点，则 $\mathbf {r} _{cm}=0$ ，方程变为

${\boldsymbol {\tau }}_{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}$ 。

以质心为参考点，角动量 $\mathbf {L} _{cm}$ 为

$\mathbf {L} _{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i}$ 。

所以，不论质心参考系是否为惯性参考系（即不论质心是否呈加速度运动），以质心为参考点，合外力矩等于角动量的时间变化率：

${\boldsymbol {\tau }}_{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{cm}}{\mathrm {d} t}}$ 。

可变形体

在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样，也就是说，其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常，牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动，但在连续介质力学里，被加以延伸后，可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成，每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律，则可以推导出欧拉运动定律。不论如何，欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理，与物体结构无关。

在塑性力学（plasticity theory）里，施加于一个连续物体B的力可以分类为两种：“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分，称为彻体力（body force），而短程力只能作用于物体表面，称为接触力（contact force）。这样，施加于连续物体的合力 $\mathbf {F}$ 分为净彻体力 $\mathbf {F} _{b}$ 、净接触力 $\mathbf {F} _{t}$ ：

$\mathbf {F} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {b} \,\mathrm {d} m=\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V$ 、

$\mathbf {F} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S$ ；

其中，$\mathbf {b}$ 是彻体力场（量纲为力每单位质量），$\mathrm {d} m$ 是微小质量元素，$\rho$ 是质量密度，$\mathrm {d} V$ 是微小体元素，$\mathbb {V}$ 是积分体区域，$\mathbf {t}$ 是表面曳力（surface traction）密度，$\mathrm {d} S$ 是微小面元素，$\mathbb {S}$ 是积分曲面。

由于彻体力与接触力施加于物体，造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样，对于原点的合力矩 $\mathbf {L}$ 分为净彻体力矩 $\mathbf {L} _{b}$ 、净接触力矩 $\mathbf {L} _{t}$ ：

$\mathbf {L} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V$ 、

$\mathbf {L} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S$ ；

其中，$\mathbf {r}$ 是微小体元素或微小面元素的位置。

欧拉第一定律（“力平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的合外力等于净动量的时间变化率：

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 。

也就是说，

$\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V$ ；

其中，$\mathbf {v}$ 是微小体元素的速度。

欧拉第二定律（“角动量平衡定律”）表明，从某惯性参考系观测，施加于连续物体内部任意部分的合力矩等于净角动量的时间变化率：

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$ 。

也就是说，

$\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V$ 。

参阅

• 欧拉方程 (刚体运动)
• 欧拉旋转定理