拉格朗日定理 (群论)

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拉格朗日定理是群论中一个重要的结果，描述了一个群和它的子群的元素个数之间的关系。这个定理对有限群的结构给出了很多线索。

定理陈述

拉格朗日定理 — 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，那么

$$|G|=|H|[G:H]$$

而如果 $G$ 是有限群，那么这个定理可以简化成—— $|H|$ 是 $|G|$ 的约数。

证明思路

定理的证明利用了陪集的以下性质：

1. 一个子群的所有陪集在集合意义下有相同的大小（ Cardinality ）。
2. 一个子群的所有陪集分割了整个群。
3. 根据集合的特性， $G$ 的大小可以写成是陪集的大小（ $|H|$ ）乘上陪集的数量（ $[G:H]$ ）。

推论

1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 $G$ 中每个元素的阶（ Order ）都会整除群 $G$ 的阶（考虑由这个元素生成的循环群）。
2. 如果 $|G|$ 是素数，那么 $G$ 同构于素数阶的循环群 $C_{|G|}$ （因为素数没有 $1$ 和自身以外的约数）。
3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论。

逆命题

拉格朗日定理的逆命题并一般来说不成立。 $|G|$ 的约数可能不是任何子群的阶。例如交错群 $A_{4}$ 的阶是 $12$ ，但它没有任何阶是 $6$ 子群。然而柯西定理以及它的推广——西罗定理——则表明：具有特定形式的约数确实是某个子群的阶；而如果 $G$ 是可解群的话，则西罗定理还可以进一步推广成霍尔定理。

参见

• 群
• 陪集
• 费马小定理
• 西罗定理
• 有限群
• 阶 (群论)

参考文献

• Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英语）. 
• Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英语）.