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疊代函數

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數學中,迭代函數[1]是在碎形動力系統中深入研究的對象。迭代函數是重複的與自身複合的函數,這個過程叫做迭代

定義

集合 上的迭代函數的形式定義為:

是集合和 函數。定義 次迭代 ,這裡的 是在 上的恆等函數

在上述中, 指示函數複合;就是說

換句話說,迭代函數也可以表示為以下的形式:

定義為

定義為反函數。(如果的反函數不存在,則也不存在)

因此,就是是恆等函數的反函數(如果存在的話),而就是能夠使得合成函數正好是的函數

注意,一般情況下,並不等於,而例如的反函數,亦即,而不是

一些特殊函數的冪次為(其中可為任意複數,亦即):

(在是負實數或虛數的時候並沒有定義,就好比是負實數或虛數的時候也沒有定義)

(注意迭代冪次要由右往左算)

(注意任何非零複數的任何複數次方都有定義:,當為負實數或虛數時,,其中為複數絕對值為複數主幅角為複數實部為複數虛部

函數冪亦有類似指數律的定理,其中可為任意複數,亦即

注意函數的合成是不可交換的(並不一定等於)但因為可結合(一定等於),所以會符合冪結合性,因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數,以及階乘運算跟排列組合運算拓展到非整數和負數時(使用伽瑪函數)一樣,二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數,只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已,包括矩陣次方以及微分次(為負整數時等同於積分次),也都可以用這種方式,把拓展到任意複數,或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列等比數列要求出全部項的和或乘積的公式,也都可以用這種方式,拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況(包括一般的中,為常見的函數如多項式函數指數函數對數函數三角函數的時候,也能拓展到任意複數,就跟積分式一樣),至於超運算能不能拓展到分數、無理數或複數,則是數學中未解決的問題之一。

從迭代建立序列

函數 的序列叫做 Picard 序列,得名於埃米爾·皮卡。對於一個給定 的值的序列叫做 軌道

如果對於某個整數 ,則軌道叫做周期軌道。對於給定 最小的這種 值叫做軌道的周期。點 自身叫周期點

不動點

如果m=1,就是說如果對於某個X中的xf(x) = x,則x被稱為迭代序列的不動點。不動點的集合經常指示為Fixf)。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性,包括巴拿赫不動點定理Brouwer不動點定理

有很多技術通過不動點迭代英語Fixed-point iteration產生了序列收斂加速。例如,應用於一個迭代不動點的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收斂。 不動點理論同樣也適用於經濟學領域。

極限行為

通過迭代,可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下,會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說,迭代也可以表現得從一個單一點發散;這種情況叫不穩定不動點

當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候,軌道的會聚點的集合叫做極限集合ω-極限集合

吸引和排斥的想法類似推廣;依據在迭代下小鄰域行為,可把迭代分類為穩定集合不穩定集合

其他極限行為也有可能;比如,遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

例子

著名的迭代函數包括曼德博集合迭代函數系統

如果 f 是一個群元素在一個集合上的作用,則迭代函數對應於自由群

參見

引用

  1. ^ 疊代iteration. 國家教育研究院辭書資訊網. [2021-11-07]. (原始內容存檔於2021-11-08). 名詞解釋:指重複的一序列指令或事件;如程式的迴圈。 
  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7