莫爾斯理論

在微分拓撲中，莫爾斯理論使人們能通過流形上的可微函數分析流形的拓撲。根據馬斯頓·莫爾斯的基本見解，流形上的可微函數在典型的情況下，直接反映了該流形的拓撲。莫爾斯理論允許人們在流形上找到CW結構和柄分解，並得到關於它們的同調的信息。

在莫爾斯之前，阿瑟·凱萊和麥克斯韋在測繪學中發展了莫爾斯理論中的一些思想。莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量泛函的臨界點）。這些技術被拉烏爾·博特用於他的著名的博特周期性定理的證明中。 莫爾斯理論在複流形中的類似理論是皮卡第–萊夫謝茨理論。

基本概念

鞍點

考慮山地地表表面M（或流形）。若函數f$M\to \mathbb {R}$給出當點海拔，則$\mathbb {R}$中一點的原像就是一條等高線（或水平集）。等高線的連通組分或者是點，或者是簡單閉合曲線，或者是有二重點的閉合曲線。等高線也可能有更高階的點（三重點等等），但不穩定，可能因地形的輕微變化而消失。等高線中的二重點出現在鞍點或通路。

鞍點附近的等高線

想象用水淹沒等高線下的地形。水位達到a時，水下的表面是$M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]$，海拔不高於a的點。想象一下隨着水位上升，這個面的拓撲結構將如何變化。除了當a經過臨界點的海拔時，f的梯度都為0（更一般地，作為切空間之間線性映射的雅可比矩陣不具有最大秩）。也就是說，除非(1)水流注入盆地，(2)覆蓋鞍點（山道），或(3)淹沒山頂，否則$M^{a}$的拓撲不變。

環面

盆地、山路、山頂（即最小點、鞍點、最大點）這三類臨界點，一般與指標（index）有關，即f從該點遞減的獨立方向數。或者說，f的非退化臨界點p的指標是M在p處切空間的最大子空間的維度，其中f的黑塞矩陣是負定的。盆地、山路、山頂的指標分別是$0,1,2$。

考慮更一般的面，令M是方向如圖所示的環面，f還是點到平面的距離。可以再次分析水下面$M^{a}$的拓撲結構如何隨水位a上升而變化。

$f(q)<a<f(r)$時，由$M^{a}$形成的圓柱體（右上）與附着於圓盤的1-胞腔（左下）同倫等價。

$f(r)<a<f(s)$時，由$M^{a}$形成的去圓盤環面（右上）與附着於圓柱的1-胞腔（左下）同倫等價。

從環面底部開始，令$p,q,r,s$分別是指標為$0,1,1,2$的臨界點，對應最小值、兩個鞍點、最大值。$a<f(p)=0$時，$M^{a}$是空集；a經過p的海拔之後有$0<a<f(q)$，則$M^{a}$是圓盤，它同倫等價於「附着」到空集的一個點（0-胞腔）。接着，a越過q的海拔時有$f(q)<a<f(r)$，則$M^{a}$是圓柱，同倫等價於附着了1-胞腔的圓盤（左圖）。a越過r的海拔時有$f(r)<a<f(s)$，則$M^{a}$是去圓盤的環面，同倫等價於附着了1-胞腔的圓柱（右圖）。最後，a高於s的海拔後，$M^{a}$便是環面了，即去掉一個圓盤（2-胞腔）並重新附着的環面。

這說明了以下規則：除非a越過臨界點，否則$M^{a}$的拓撲不變；遇到臨界點時，一個$\gamma$-胞腔會被附着到$M^{a}$，其中$\gamma$是點的指標。這沒有說明兩個臨界點位於同一高度時會發生什麼，可以通過擾動f來解決。若是嵌入歐氏空間的景觀或流形，這種擾動可能只是稍微傾斜、旋轉坐標系。

必須注意不能使臨界點退化。設想退化會造成什麼問題：令$M=\mathbb {R}$、$f(x)=x^{3}$。則0是f的一個臨界點，但a經過0時$M^{a}$的拓撲並不改變。這是因為f在0的二階導$f''(0)=0$，也就是f的黑塞矩陣為0，臨界點退化。這種情形是不穩定的，因為將f擾動為$f(x)=x^{3}+\epsilon x$，則退化的臨界點或者被移除（$\epsilon >0$）或者分解為兩個非退化臨界點（$\epsilon <0$）。

形式發展

對於微分流形M上的實值光滑函數$f:M\to \mathbb {R}$，f的微分為0的點稱作f的臨界點，在f下的像稱作臨界值。若臨界點p處，二階偏導數矩陣（黑塞矩陣）非奇異，則p稱作非退化臨界點；若黑塞矩陣是奇異的，則p稱作退化臨界點。

函數$f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R}$：

$$f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots$$

$b=0$時，原點是f的一個臨界點。若$c\neq 0$，則此臨界點是非退化的（即f具有形式$a+cx^{2}+\cdots$）；若$c=0$，則此臨界點是退化的（即f具有形式$a+dx^{3}+\cdots$）。退化臨界點的一個不太平凡的例子是猴鞍面的原點。

f的非退化臨界點p的指標（index）是M在p處的切空間中黑塞矩陣為負定陣的最大子空間的維數。這與指標是f遞減的方向個數的概念直觀對應。臨界點的退化性和指標同所用的局部坐標系無關，如西爾維斯特慣性定理所示。

莫爾斯引理

令p為$f:M\to R$的非退化臨界點。則，在p的鄰域U中存在卡$\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$，使得$\forall i,\ x_{i}(p)=0$且在整個U中

$$f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$$

其中$\gamma$等於f在p處的指標。作為莫爾斯引理的推論，可以看到非退化臨界點是孤點（關於複數域的擴張，可見復莫爾斯引理。關於推廣，見莫爾斯–帕萊引理）。

基本定理

流形M上的光滑實值函數若無退化臨界點，則稱作莫爾斯函數。莫爾斯理論的基本結果表明，幾乎所有函數都是莫爾斯函數。技術上，莫爾斯函數形成了$C^{2}$拓撲中所有光滑函數$M\to \mathbb {R}$的一個開稠密子集，這有時表述為「典型的函數是莫爾斯的」或「通有的函數是莫爾斯的」。

如上述，我們感興趣的是$M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]$的拓撲何時會隨着a的變化而變化。下面的定理給出了這個問題的一半答案。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，$a<b$，且$f^{-1}[a,b]$是緊的，且a、b間無臨界值。則$M^{a}$微分同胚於$M^{b}$，$M^{b}$形變收縮到$M^{a}$上。

我們還有興趣知道，a經過臨界點時$M^{a}$的拓撲會怎樣變化。下面的定理回答了這個問題。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，p是指標為$\gamma$的f的非退化臨界點，$f(p)=q$。設$f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]$是緊的，且除了q以外不包含臨界點。則$M^{q+\varepsilon }$同倫等價於$M^{q-\varepsilon }$，並附加了一個$\gamma$-胞腔。

這些結果是對上一節所述「規則」的推廣與形式化。

用前面兩個結果以及微分流形上存在莫爾斯函數的事實，可以證明微分流形是CW復形，指標為n的臨界點都附加了n-胞腔。可在臨界水平面上安排一個臨界點來證明，通常通過類梯度向量場重排臨界點來實現。

莫爾斯不等式

莫爾斯理論可用於證明流形同調的一些有力結果。函數$f:M\to \mathbb {R}$的指標為$\gamma$的臨界點數量等於「爬升」f得到的M上CW結構中$\gamma$-胞腔的數量。利用拓撲空間同調群的秩的交替和等於鏈群（計算同調用）的秩的交替和，用胞腔鏈群（見胞腔同調），很明顯歐拉示性數$\chi (M)$等於

$$\sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)$$

其中$C^{\gamma }$是指標為$\gamma$的臨界點數量。同樣根據胞腔同調，CW復形M的第n同調群的秩不大於M中n-胞腔的數量。於是，第$\gamma$同調群的秩、即貝蒂數$b_{\gamma }(M)$不大於M上莫爾斯函數的指標為$\gamma$的臨界點數量。強化這些事實可得到莫爾斯不等式：

$$C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).$$

特別地

$$\forall \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},$$

都有

$$C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).$$

這給出了研究流形拓撲的有力工具。假設在閉流形上存在莫爾斯函數$f:M\to \mathbb {R}$，恰有k個臨界點，則f的存在以何種方式限制了M？Georges Reeb (1952)研究了$k=2$情形，里布球面定理指出，M同胚於球面$S^{n}$。$k=3$情形只可能出現於少數低維情形，M同胚於伊爾斯–柯伊伯流形。 愛德華·威滕 (1982)考慮擾動算子$d_{t}=e^{-tf}de^{tf}$的德拉姆復形，提出了莫爾斯不等式的解析方法。

用於閉2-流形的分類

莫爾斯理論可用於對閉2-流形在微分同胚意義上進行分類。若M有向，則M依其虧格g分類，且與具有g柄的球面微分同胚：若$g=0$，則M微分同胚於2-球面；若$g>0$，則M微分同胚於g 2-環面的連通和。若N無向，則M依正數g分類，微分同胚於g個實射影空間$\mathbf {RP} ^{2}$的連通和。特別地，當且僅當兩閉2-流形微分同胚時，它們同胚。

莫爾斯同調

莫爾斯同調是理解光滑流形的同調一種很簡單的方法。莫爾斯同調使用莫爾斯函數和黎曼度量的一般選擇來定義，基本定理是：所得的同調是流形的不變量（即與函數和度量無關），同構於流形的奇異同調；這意味着莫爾斯和奇異貝蒂數一致，並給出了莫爾斯不等式的直接證明。莫爾斯同調在辛幾何中的類似物是弗洛爾同調。

莫爾斯–博特理論

莫爾斯函數的概念可以推廣到以非退化流形作為臨界點的函數。莫爾斯–博特函數是流形上的光滑函數，其臨界集是閉子流形，它的黑塞矩陣在法向上非退化（等價地，臨界點處的黑塞矩陣核等於對臨界子流形的切空間）。莫爾斯函數是臨界流形為0維時的特例（於是臨界點處的黑塞矩陣在每個方向上非退化，即無核）。

指標可被自然地認為是一對

$$\left(i_{-},i_{+}\right),$$

其中$i_{-}$是不穩定流形在臨界流形給定點上的維度，$i_{+}=i_{-}+$臨界流形維度。若莫爾斯–博特函數在臨界軌跡（locus）上被小函數擾動，則在未擾動函數的臨界流形上，擾動函數所有臨界點的指標將介於$i_{-}$、$i_{+}$之間。

莫爾斯–博特函數非常有用，因為一般的摩爾斯函數不易處理。能直觀看到、可輕鬆計算的函數通常具有對稱性。拉烏爾·博特在最初證明博特周期性定理時使用了莫爾斯–博特理論。

圓形函數是莫爾斯–博特函數的例子，其中臨界集是圓（的不交並）。

莫爾斯同調也可用於莫爾斯–博特函數；莫爾斯–博特同調中的微分是由譜序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫爾斯–博特版本的辛場論時勾勒出一種方法，但由於分析上的巨大困難，這項工作從未發表。

另見

• 阿爾姆格倫–匹茨最小-最大理論
• 數字莫爾斯理論
• 離散莫爾斯理論
• 雅可比集
• 拉格朗日格拉斯曼流形

• LS範疇

• 莫爾斯–斯麥爾系統
• 山路定理
• 薩德引理
• 分層莫爾斯理論

閱讀更多

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• Morse, Marston. The Calculus of Variations in the Large. American Mathematical Society Colloquium Publication 18. New York. 1934. 
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