斯梅爾悖論

一 Morin曲面的俯視圖

差拓撲結構中，球面外翻（Sphere eversion）是指在三維空間中，將球面從內向外翻。值得注意的是，我們有辦法在不割開、撕裂或製造摺痕的前提下，連續且光滑地將球面由內向外翻（有可能產生自交）。 這對非數學家甚至是瞭解定期同倫的人來說都十分意外，並可以被視為一種真詭論：乍看下是假，實際上為真。

更準確地說，令

$f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

為標準嵌入，則有一個定期同倫的浸入

$f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$

使得ƒ₀ = ƒ 且 ƒ₁ = −ƒ。

歷史

無摺痕球面外翻的存在性證明是由史蒂芬·斯梅爾於1957年率先完成。雖然已經有一些電腦動畫幫助人們想像，但很難提供這種翻轉的動畫片。第一個展示性的例子經過數位數學家的努力才完成，包括弗拉基米爾·阿諾爾德和盲人數學家伯納德·莫蘭。另一方面，證明這樣的「翻轉」存在容易多了，這就是斯梅爾證明的事。

剛開始斯梅爾的博士指導老師拉烏爾·博特告訴他這件事顯然是錯誤的（Levy 1995）。他的推論是，映射度的高斯映射必須保存在這種「翻轉」—特別地，這表示在R²沒有這種S¹的翻轉。但在R³中， 嵌入f 和 −f對應的高斯映射 在 R³ 都等於1，並且沒有相反的符號作猜測。 所有 R³ 中S²的浸入，它對應的高斯映射映射度都是1，所以沒有問題。「真悖論」也許更適合用在這個級別：在斯梅爾的工作之前，沒有任何嘗試論證或反正外翻 S²的紀錄，所以歷史上並沒有關於球面外翻的紀錄，只有第一次面對視覺化球面外翻的人，所留下對其精妙之處的讚揚。

進一步的一般化在h-原理。

參考文獻

• Levy, Silvio, A brief history of sphere eversions, Making waves, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., 1995 [2017-06-03], ISBN 978-1-56881-049-2, MR 1357900, （原始內容存檔於2017-09-09）