罗素悖论

罗素悖论（英语：Russell's paradox），也称为理发师悖论、书目悖论，是英国哲学家伯特兰·罗素于1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。

罗素悖论

我们通常希望：任给一个性质(例如：“年满三十岁”就是一个性质)，满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设有一性质$P$，并以一性质函数表示：$P(x)$，且其中的自变量$x$有此特性：$x\not \in x$，

现假设由性质$P$能够确定一个满足性质$P$的集合$A$——也就是说 $A=\{x\mid x\not \in x\}$。那么现在的问题是$A\in A$是否成立？

首先，若$A\in A$，则$A$是$A$的元素，那么$A$具有性质$P$，由性质函数$P$可以得知$A\not \in A$；

其次，若$A\not \in A$，根据定义，$A$是由所有满足性质$P$的类组成，也就是说，$A$具有性质$P$，所以$A\in A$。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理发师悖论被一些人认为只是罗素悖论的一种描述方式，仅以理发师悖论并无法完全叙述罗素悖论。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论等价

理发师悖论：

一个城市里唯一的理发师立下了以下的规定：只帮那些自己不理发的人理发。

　　现在问一个问题：理发师应该为自己理发吗？

　　你会发现理发师处于两难，因为:

• 如果理发师不给自己理发，他需要遵守规则，帮自己理发。

• 如果理发师是自己理发的，他需要遵守规则，不给自己理发。

理发师悖论和罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人对应一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他对应的集合里的元素，都是城里不属于自己对应的集合的人，并且城里所有不属于自身对应集合的人都属于理发师对应的集合，那么他是否属于他自己对应的集合？这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

罗素悖论与书目悖论等价

另一种等价的悖论为书目悖论，第一类的书的目录有它自己的条目，经典的例子就是维基百科（以及多数的网络百科全书）。第二类的书目录则没有它自己的条目，一般的书目都是如此，问：今有一图书馆员，想将第二类的书名编辑成一册，则将所有第二类书籍名称统整的该书该不该拥有自己名称的条目？

假设（1）：拥有自己名称的条目

假设（2）：不拥有自己名称的条目

分析：

假设（1）：拥有自己名称的条目

        表示該書是一本第一類的書
        =>與命題不符（該書目錄只有第二類）=>是第二類的書

假设（2）：不拥有自己名称的条目

        表示該書為一本第二類的書
        =>與命題不符（在目錄沒有該書名）=>是第一類的書

因为，如果把每本书对应一个集合，这个集合的元素被定义成这本书分类的方式。那么，该统整书对应的集合里的元素，都是馆内不属于自己对应的集合的书，并且馆内所有不属于自身对应集合的书都属于该统整书对应的集合，那么该书是否属于它自己对应的集合？这样就由书目悖论得到罗素悖论。

罗素悖论解决方案

参见：悖论 § 解决悖论

当一个句子、想法或公式引用自身时，就会出现自指。直到现在，真正意义上的悖论（除了依赖模糊性的双面真理），其问题几乎都是自指或自相关而引起。 尽管陈述可以是自指并且不自相矛盾（“This statement is written in English”是真实且非自相矛盾的带有自指的陈述）， 但自指是悖论的一个常见要素。根据路德维希·维特根斯坦的逻辑哲学论3.333,任何命题不能包含自身,同理一个函数不能包含自身。 例子: 假设一个函数$F(fx)$,如果命题不能不包含自身(即可以包含自身),那么就会有$F(F(fx))$这个命题就会同一个F但有2个意义的情况。内层F为φ$(fx)$,外层F为Ψφ$(fx)$。应写成“(∃φ):F(φu). φu”(维特根斯坦用“.”表示 “&”) 由此解决罗素悖论本身。

罗素悖论中，在逻辑上它们都有无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。英国数理逻辑学家罗素 (Russell,B. A. W.)提出了恶性循环原则(vicious circle principle)， 即没有一个整体能包含一个只能借助于这个整体来定义的元素，借以排除悖论。 逻辑系统中，如果要求任何命题不能违反恶性循环原则(vicious circle principle)， 则可以避免类似罗素悖论和说谎者悖论等自指性悖论。可是直接应用恶性循环原则检验命题并非一件易事。

参见

• 理发师悖论
• 公理化数学
• 类的理论