微分方程的级数解

在数学中，幂级数法用于求某些微分方程的幂级数解。 通常这样的解假设一个具有未知系数的幂级数，然后将该解代入微分方程以找到系数的递推关系。

方法

考虑二阶线性微分方程

$$a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.$$

假设对于所有 z，a2 都不为零。 然后我们可以划分整个得到

$$f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.$$

进一步假设 a1/a2 和 a0/a2 是解析函数。

幂级数方法要求构建幂级数解

$$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.$$

如果对于某些 z，a2 为零，则 Frobenius 方法是该方法的一种变体，适用于处理所谓的正则特异点。 该方法类似地适用于高阶方程和系统。