User:Travailen/草稿02 點
數學的點[编辑]
在亞里斯多德的著作【論天體】第三冊中，已經提到數學中的點是沒有大小的[1][2]，他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素[3]（參見正多面體），並強調這與當時的數學定義相違背，因為數學的平面沒有厚度，所以不能構造物理實體。他論述說，如果數學平面有厚度，那麼數學的線就要有寬度才能夠成平面，而數學的點必須有大小才能構成線，但是在數學中已經明確定義數學的點是沒有大小的，因此柏拉圖的理論與數學相牴觸。從這裡，亞里斯多德陳述說，一個幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件：平面只能分割成平面，而不能分割成線；線只能分割成線，不能分割成點；這樣的分割可以無限的進行，而不是像原子論者所說的，最後分割到原子（或是基本構成要素）就停止了。
因此，早在歐幾里得的【幾何原本】之前，數學中的點只用來標示位置的用法已經是共識。亞里斯多德提到點的時候，用的字是 στιγμὰς，是可見的點（spot），而歐幾里得則（小心翼翼的）採用另一個字 σημεῖόν，原意是「標示」（sign）：
σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[4]
這句話的意思是：點是沒有部分（μέρος）的東西。點沒有部分，所以也就沒有大小。這個論點來源自亞里斯多德的「部分－整體」理論（part–whole theory）：
"the parts are causes of the whole"[5]（整體是由部份所構成的。）
【幾何原本】的阿拉伯文版，將 σημεῖόν 翻譯為 نقطة[6]，意思回到亞里斯多德的可見點[7]；拉丁文版則將 σημεῖόν 翻譯為 punctum[8]，意思是被尖物刺成的小洞。
語源[编辑]
在【幾何原本】的第一冊中，第一道敘述就是點的定義：
- 古希臘原文[9]：σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
- σημεῖόν（點，標記） ἐστιν（實際上）, οὗ μέρος （部分）οὐθέν（無，沒有）.
- 阿拉伯文[10]：النقطة هي شيء ما لا جزء له
- نقطة[11]: dot, period (punctuation mark) spot, drop
Aristotle 【De Caelo】[14]:
Discussion of the other views may be postponed. But this last theory which composes every body of planes is, as the most superficial observation shows, in many respects in plain contradiction with mathematics. It is, however, wrong to remove the foundations of a science unless you can replace them with others more convincing.
And, secondly, the same theory which composes solids of planes clearly composes planes of lines and lines of points, so that a part of a line need not be a line. This matter has been already considered in our discussion of movement, where we have shown that an indivisible length is impossible.
- ἄτομος (indivisible)
- στερεὰ (solid)
- ἐπιπέδων (plane)
- γραμμῶν (line)
- στιγμὰς (spot, point)
- τόπος (place)
- σῶμα (body)
Part-Whole Theory[编辑]
- "the parts are causes of the whole"[15]
参考资料[编辑]
- ^ 論天體，第三冊，Thomas Aquinas 翻譯與註解
- ^ 論天體，第三冊，The Internet Classics Archive
- ^ Ancient Atomism, 3. Plato and Platonists, Stanford Encyclopedia of Philosophy
- ^ 幾何原本，原文第一冊，定義一，柏修斯數位圖書館
- ^ Metaphysics, Book V, The Internet Classics Archive
- ^ Euclid, Elements
- ^ Wiktionary: نقطة
- ^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition
- ^ 幾何原本，原文第一冊，定義一，柏修斯數位圖書館
- ^ Euclid, Elements
- ^ Wiktionary: نقطة
- ^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition
- ^ Wiktionary: punctum
- ^ On the Heavens, by Thomas Aquinas
- ^ Metaphysics, Book V, The Internet Classics Archive
外部链接[编辑]
- G4592 σημεῖον - Strong's Greek Lexicon Number
- Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon: σημεῖον
- How Greek Geometry Denotes Points
- Online Etymology Dictionary - point
- Euclid's Elements in the middle ages
- Euclid's Elements of Geometry: From the Latin Translation of Commandine, by John Keill
- Observations on the Nature of Demonstrative Evidence; with an explanation of certain difficulties occurring in the Elements of Geometry: and Reflections on language, by Thomas Beddoes