貝爾性質

若一個拓樸空間 $X$ 的子集合 $A$ 有貝爾性質，或是一個幾乎開集，就表示這集合與開集之間的差為一個貧乏集（英语：meager set）；換句話說，若存在一個開集合 $U\subseteq X$ 使得 $A\bigtriangleup U$ 為貧乏集（此處的 $\bigtriangleup$ 為對稱差），那麼就說 $A$ 有貝爾性質。^[1]

定義[编辑]

若一個拓樸空間 $X$ 的子集合 $A$ 是一個有貝爾性質的幾乎開集，那就表示存在一個 $U\subseteq X$ 使得 $A\bigtriangleup U$ 為貧乏集，此處的 $\bigtriangleup$ 為對稱差；此外^[1]若 $A$ 有限制意義下的貝爾性質的話，就表示說對於任意 $X$ 的子集合 $E$ 而言， $A$ 跟 $E$ 的交集 $A\cap E$ 相對於 $E$ 有貝爾性質。^[2]

性質[编辑]

有貝爾性質的集合構成集族為一個σ-代数，也就是說，幾乎開集的補集也是幾乎開集，且任何可數多個幾乎開集的聯集或交集也是幾乎開集；^[1]此外，由於空集合本身是貧乏集，因此所有的開集都是幾乎開集之故，因此所有的博雷爾集都是幾乎開集。

若一個波蘭空間的子集合有貝爾性質，那麼與其對應的巴拿赫－馬祖爾遊戲（英语：Banach–Mazur game）是決定的（英语：Determinacy）。此命題的逆命題一般不成立，然而若一個適當點類（英语：adequate pointclass） $\Gamma$ 中的所有遊戲都是決定的，那 $\Gamma$ 中的每個集合都有貝爾性質，也就是說根據由足夠大的基數推導而出的射影決定性（英语：Axiom of projective determinacy），波蘭空間中所有的射影集（英语：projective set）都有貝爾性質。^[3]

利用選擇公理，可知一些實數的子集不具貝爾性質，一個沒有貝爾性質的實數子集的具體的例子是維塔利集合。^[4]實際上選擇公理就已足以證明這點：根據布尔素理想定理，自然數集合上存在有一個非主理想超濾子，而每一個有如此性質的超濾子，都可在以二進制表示實數的狀況下，用以導出一個沒有貝爾性質的實數集。^[5]

參見[编辑]

參考資料[编辑]

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Oxtoby, John C., 4. The Property of Baire, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics 2 2nd, Springer-Verlag: 19–21, 1980, ISBN 978-0-387-90508-2 .
^ Kuratowski, Kazimierz, Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers, 1966 .
^ Becker, Howard; Kechris, Alexander S., The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series 232, Cambridge University Press, Cambridge: 69, 1996, ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877, doi:10.1017/CBO9780511735264 .
^ Oxtoby (1980), p. 22.
^ Blass, Andreas, Ultrafilters and set theory, Ultrafilters across mathematics, Contemporary Mathematics 530, Providence, RI: American Mathematical Society: 49–71, 2010, MR 2757533, doi:10.1090/conm/530/10440 ，可見第64頁的說明。

外部連結[编辑]

Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[oxtoby-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Oxtoby, John C., 4. The Property of Baire, Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics 2 2nd, Springer-Verlag: 19–21, 1980, ISBN 978-0-387-90508-2 .

[2] Kuratowski, Kazimierz, Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers, 1966 .

[3] Becker, Howard; Kechris, Alexander S., The descriptive set theory of Polish group actions, London Mathematical Society Lecture Note Series 232, Cambridge University Press, Cambridge: 69, 1996, ISBN 0-521-57605-9, MR 1425877, doi:10.1017/CBO9780511735264 .

[4] Oxtoby (1980), p. 22.

[5] Blass, Andreas, Ultrafilters and set theory, Ultrafilters across mathematics, Contemporary Mathematics 530, Providence, RI: American Mathematical Society: 49–71, 2010, MR 2757533, doi:10.1090/conm/530/10440 ，可見第64頁的說明。

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