艾伦伯格–麦克莱恩空间

数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。

令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群$\pi _{n}(X)$若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是$K(G,n)$型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在$n>1$时是阿贝尔群，则$K(G,n)$型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为$K(G,n)$指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个$K(G,n)$”或“$K(G,n)$的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。

艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩，他们在1940年代末引入了此类空间。

因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间，在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要，如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。 广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间 $\prod _{m}K(G_{m},m)$的拓扑积的同伦类的空间。

例子

• 单位圆$S^{1}$是$K(\mathbb {Z} ,1)$。
• 无穷维复射影空间$\mathbb {CP} ^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} ,2)$的模型。
• 无穷维实射影空间$\mathbb {RP} ^{\infty }$是$K(\mathbb {Z} /2,1)$。
• k个单位圆的楔和$\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}$是$K(F_{k},1)$，其中$F_{k}$是k个生成子上的自由群。
• 3维球$S^{3}$中任何连通结或图的补是$K(G,1)$型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。
• 紧连通曲率非正流形M是$K(\Gamma ,1)$，其中$\Gamma =\pi _{1}(M)$是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
• 无限透镜空间$L(\infty ,q)$由$S^{\infty }$对自由作用$(z\mapsto e^{2\pi im/q}z)$（$m\in \mathbb {Z} /q$）的商给出，是$K(\mathbb {Z} /q,1)$。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。注意这包括作为$K(\mathbb {Z} /2,1)$的$\mathbb {RP} ^{\infty }$。
• 平面上n个点的构型空间是$K(P_{n},1)$，其中$P_{n}$是n股上的纯辫群。
• 相应地，$\mathbb {R} ^{2}$的第n无序构型空间是$K(B_{n},1)$，其中$B_{n}$表示n股辫群。
• n球的无穷对称积$SP(S^{n})$是$K(\mathbb {Z} ,n)$。更一般地，$SP(M(G,n))$对所有摩尔空间$M(G,n)$是$K(G,n)$。

利用积$K(G,n)\times K(H,n)$是$K(G\times H,n)$的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面$\mathbb {T} ^{n}$是$K(\mathbb {Z} ^{n},1)$。

关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注

对$n=1$、任意群G，$K(G,1)$的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间$M(A,n)$：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的$\pi _{n}(\bigvee S^{n})$中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群$\pi _{i<n}(M(A,n))$由构造是平凡的。现在通过附加大于$n+1$维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群$\pi _{i>n}(M(A,n))$，并定义$K(A,n)$为包含此迭代的直极限。

另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

乔·彼得·梅的书从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价$K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)$，因此有纤维化序列

$K(G,n)\to *\to K(G,n+1)$.

注意这不是上纤维化序列：空间$K(G,n+1)$不是$K(G,n)\to *$的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从$K(G,n)$用勒雷谱序列研究$K(G,n+1)$的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

性质

映射与上同调的同伦类间的双射

$K(G,n)$的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到$K(G,n)$的基映射的基同伦类集$[X,K(G,n)]$，同空间X的第n奇异上同调群$H^{n}(X,G)$是自然双射。因此可以说$K(G,n)'s$是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于

${\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}$

有一个区别元素$u\in H^{n}(K(G,n),G)$，对应幺元。上述双射由元素的拉回$f\mapsto f^{*}u$给出，这与范畴论中的米田引理很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献，主要思想也将在后面略述。

闭路空间/Omega谱

艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间：$\Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)$。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系：$[\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]$，使$[X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]$有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射$[X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)$是群同构。

这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过$X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]$定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论$h^{*}$（$h^{n}(S^{0})=0$，$n\neq 0$），有自然同构$h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})$，其中${\tilde {H^{*}}}$表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。

在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

与同调的关系

对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群

$\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))$

上由映射$\Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)$导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论

$h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))$

由于$h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))$（$q\neq 0$）为零，$h_{*}$与CW复形上系数在G中的既约奇异同调${\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)$一致。

函子性

从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若$a\colon G\to G'$是阿贝尔群的任何同态，则有非空集

$K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},$

满足$K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),$

其中$[f]$表示连续映射f、$S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}$的同伦类。

与波斯尼科夫/怀特海塔的关系

连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系：

$\cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)$

使对每个n都有：

1. 有交换映射$X\to X_{n}$，导出$\pi _{i}$（$i\leq n$）上的同态；
2. $\pi _{i}(X_{n})=0$（$i>n$）；
3. 映射$X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}$是具有纤维$K(\pi _{n}(X),n)$的纤维化。

对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列：

$\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X$

使对每个n都有：

1. 映射$X_{n}\to X$导出$\pi _{i}$（$i>n$）上的同态；
2. $X_{n}$是n连通的；
3. 映射$X_{n}\to X_{n-1}$是具有纤维$K(\pi _{n}(X),n-1)$的纤维化。

在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如，$\pi _{4}(S^{3})$、$\pi _{5}(S^{3})$用$S^{3}$的怀特海塔，可见参考文献；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的$\pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3$可见参考文献。

上同调运算

对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ，存在所有上同调运算集$\Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)$与$H^{n}(K(G,m),H)$之间的双射，定义为$\Theta \mapsto \Theta (\alpha )$（$\alpha \in H^{m}(K(G,m),G)$是基本类）。

因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态$\operatorname {Hom} (G,H)$。这源于上同调的万有系数定理与$K(G,m)$的(n-1)连通性。

$G=H$是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在$\mathbb {Z} /p$中的$K(\mathbb {Z} /p,n)$的上同调变得非常重要，有关这些组别的详细列表，请参此处。

群（上）同调

可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间$K(G,1)$的奇异（上）同调，系数在A中。

进一步应用

上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列

$0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0$

产生的怀特海塔，其中${\text{String}}(n)$是弦群，${\text{Spin}}(n)$是旋量群。$K(\mathbb {Z} ,2)$的相关性在于存在分类空间$B\mathbb {Z}$（且$K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)$）的同伦等价关系

$K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z}$

注意，由于复旋量群是群扩张

$0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0$,

弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间$K(\mathbb {Z} ,2)$就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群$U(1)$的广群$\mathbf {B} U(1)$的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间$K(\mathbb {Z} ,n)$都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群$\pi _{n+1}$。

另见

• 分类空间，$n=1$情形
• 布朗可表性定理，关于表示空间
• 摩尔空间，同调中的类似物

参考文献

基础文章

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders, Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, (Second Series), 1945, 46 (3): 480–509, JSTOR 1969165, MR 0013312, doi:10.2307/1969165 
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders. Relations between homology and homotopy groups of spaces. II. Annals of Mathematics. (Second Series). 1950, 51 (3): 514–533. JSTOR 1969365. MR 0035435. doi:10.2307/1969365. 
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders. On the groups $H(\Pi ,n)$. III. Operations and obstructions. Annals of Mathematics. 1954, 60 (3): 513–557. JSTOR 1969849. MR 0065163. doi:10.2307/1969849. 

嘉当研讨会与应用

嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）

计算整上同调环

• Derived functors of the divided power functors
• Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

其他百科参考文献

• Encyclopedia of Mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• nLab的Eilenberg-Mac Lane space條目