幻方

洛書（九数图），朱熹《周易本義》

幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从$1$到$N^{2}$的连续整数组成，其中$N$为正方形的行或列的数目。因此$N$阶幻方有$N$行$N$列，并且所填充的数为从$1$到$N^{2}$。

幻方可以使用$N$阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数$M_{2}(N)$，如果填充数为$1,2,\dots ,N^{2}$，那么有

$M_{2}(N)={\frac {N(N^{2}+1)}{2}}$

幻方简史

《繫辭》云：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只有文字。

九宮圖實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮占盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。

後來陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宫图，為$1,\dots ,9$这$9$个数，而$3$行、$3$列以及两对角线上各自的数之和均为15。

杨辉纵横图

杨辉纵横图

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

构造法

根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、$4k$阶幻方和$4k+2$阶幻方，其中$M$为自然数，$2$阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

奇数阶幻方构造法

右斜角降位法1

假設要建構n階幻方，n為奇數。

1. 先在第一橫列中央的方格填入1。
2. 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n²，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
3. 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。

以下图$5$阶幻方为例，$1$填写在$(1,3)$（第一行第三列）的位置上；$2$应当填写在其右上方格即$(0,4)$中，由于$(0,4)$超出顶边界，所以从最底行进入，即$(5,4)$；$3$填写在$(5,4)$的右上方格$(4,5)$中；$4$填写在$(4,5)$的右上方格$(3,6)$中，由于$(3,6)$超出右边界，所以从最左列进入，即$(3,1)$；$5$填写在$(3,1)$的右上方格$(2,2)$中；$6$应该填写的方格$(1,3)$已经被$1$所占据，因此填写在$(2,2)$的正下方格$(3,2)$中；按照上面的步骤直到所有数填入。

${\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}47&58&69&80&1&12&23&34&45\\57&68&79&9&11&22&33&44&46\\67&78&8&10&21&32&43&54&56\\77&7&18&20&31&42&53&55&66\\6&17&19&30&41&52&63&65&76\\16&27&29&40&51&62&64&75&5\\26&28&39&50&61&72&74&4&15\\36&38&49&60&71&73&3&14&25\\37&48&59&70&81&2&13&24&35\end{bmatrix}}$
$3$阶	$5$阶	$9$阶

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

${\begin{bmatrix}15&6&19&2&23\\16&12&25&8&4\\9&5&13&21&17\\22&18&1&14&10\\3&24&7&20&11\end{bmatrix}}$

$5$阶

右斜角降位法2

假設要建構n階幻方，n為奇數。

1. 先在第一橫列中央的方格填入1。
2. 向「右(n-1)/2格、上(n-1)/2格」的格子推進，依次填入2、3、4、…、n²，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
3. 若右上方的格子已有數字，則將數字填入下面的格子中。

右斜角升位法

假設要建構n階幻方，n為奇數。

1. 先在中央格的正上方一格的方格填入1。
2. 向右上方的格子推進，依次填入2、3、4、…、n²，若超過方陣框外，則將數字填入到該橫列或該直行的相對位置。
3. 若右上方的格子已有數字，則將數字填入上面兩格的格子中。

菱形法

假設要建構n階幻方，n為奇數。

1. 先以對角線為兩邊，做一個包含n階方陣的菱形方陣，此方陣總共有2n²-2n+1（第n個中心正方形數）個格子。
2. 從這個菱形方陣中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入1、2、3、4、…、n²。
3. 將原先方陣上側外的格子向下平行移動n格，填入原方陣的空格處，相同的步驟，若格子是在下側，往上移，若格子是在左側，往右移，若格子是在右側，往左移。

偶数阶幻方构造法

$4k$阶幻方构造法

消去對角線法

1. 將1、2、3、4、…、n²由上到下、再由左到右，依次填入。
2. 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n²個四階方陣），然後在每個四階方陣中，對角線上的數字擦掉。
3. 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。

保留對角線法

假設要建構n階幻方，n為4的倍數。

1. 將1、2、3、4、…、n²由上到下、再由左到右，依次填入。
2. 將方陣以四階方陣為單位分割（可分割成n²個四階方陣），然後在每個四階方陣中，不在對角線上的數字擦掉。
3. 把擦掉的數字由大的數開始，由上到下、再由左到右，依次填入。

如4阶幻方的排列法：
${\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}}$
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：
${\begin{bmatrix}1&15&14&4\\12&6&7&9\\8&10&11&5\\13&3&2&16\end{bmatrix}}$
八阶幻方构造如下
$\left[{\begin{array}{cccc|cccc}\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\hline \diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\end{array}}\right]$
即：
${\begin{bmatrix}1&63&62&4&5&59&58&8\\56&10&11&53&52&14&15&49\\48&18&19&45&44&22&23&41\\25&39&38&28&29&35&34&32\\33&31&30&36&37&27&26&40\\24&42&43&21&20&46&47&17\\16&50&51&13&12&54&55&9\\57&7&6&60&61&3&2&64\end{bmatrix}}$

$4k+2$阶幻方构造法

LUX法

在(4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在前M+1行的格點，全部標上「L」；在第M+1行的中間格點標上「U」，其余格點標上「L」；在第M+2行的中间格點標上「L」，其余格點標上「U」；在餘下的M-1行的格點全部標上「X」。將格點上的數乘以4再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上：

 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2

例子：

[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]

斯特拉奇法

主条目：en:Strachey method for magic squares

任何階數的幻方都適用的構造法

艾歆緹雅法

此方法可用來建構任何階數的幻方，當要建構n階幻方時，使用兩個方陣，一個填入正整數1到n各n次，另一個則填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，儘管奇數階幻方與偶數階幻方的填入方式有所不同。

對於奇數階幻方：

第一個方陣：在第一橫列中央的方格填入1，並且往左下角不斷填入1，若超出方陣外，則向右平移n格，直到每一橫列都有一個方格填入1為止，再把所有填入1的方格右邊的格子填入2（若超出方陣外，則向左平移n格），再把所有填入2的方格右邊的格子填入3，一直到填入n為止。

第二個方陣：在第一直行中央的方格填入0，並且往右下角不斷填入1，若超出方陣外，則向上平移n格，直到每一直行都有一個方格填入0為止，再把所有填入0的方格右邊的格子填入n（若超出方陣外，則向上平移n格）。再把所有填入n的方格右邊的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n為止。

再把兩個方陣中的數相加。

事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中(n+1)/2這個數字，以及第二個方陣中(n-1)*n/2這個數字，不能被替換。

對於偶數階幻方：

第一個方陣：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行與第二直行相同，第四直行與第一直行相同，若超過四直行，則重複第一到第四直行的步驟。

第二個方陣：第一橫列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二橫列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三橫列與第二橫列相同，第四橫列與第一橫列相同，若超過四橫列，則重複第一到第四橫列的步驟。

此方法暫時只適用於4k階的幻方。

事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中每個直行相對的兩個數字之和必須是n+1，以及第二個方陣中每個橫列相對的兩個數字之和必須是n*(n-1)。

如果是4k+2階的幻方，就必須在第二個方陣中，檢查每個直行相對的兩個數字之和為n*(n-1)的格子，對於這些格子，第一個方陣的對應格子。

加邊法

當n為大於等於5的正整數時，此方法可由n-2階幻方外圍加上一圈來構造n階幻方。

以$6$阶为例子，先排出$4$阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上$8m+2=10$，有下图：
${\begin{bmatrix}11&25&24&14\\22&16&17&19\\18&20&21&15\\23&13&12&26\end{bmatrix}}$

在外围加上一圈格子，把$1,2,3,\dots ,8m+2$和$16m^{2}+8m+3,16m^{2}+8m+4,\dots ,(4m+2)^{2}$这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于$16m(m+1)+5$。对于$m=1$这些数是：$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$；$27,28,29,30,31,32,33,34,35,36$。
结果如下：
${\begin{bmatrix}1&9&34&33&32&2\\6&11&25&24&14&31\\10&22&16&17&19&27\\30&18&20&21&15&7\\29&23&13&12&26&8\\35&28&3&4&5&36\end{bmatrix}}$

方陣合成法

當n可以分解成兩個大於等於3的正整數a與b的乘積時，此方法可由a階幻方與b階幻方來構造n階幻方。

1. 以a(k)表示a階幻方中的每一個數字加上k*a²的結果，則所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a階幻方。
2. 將b階幻方中的數字k都用幻方a(k-1)取代。

四階幻方全解搜索(C/C++)

#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
    int n=0,j=0;
    while(++j<17)
        if(!a[j])
        {
            a[b[i]=j]=1;
            switch(i)
            {
                case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
                case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
                case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
                case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
             }
             a[j]=0;
        }
}
int main(void)
{
    s(1);
    printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
    return 0;
}

奇數階幻方算法的Java語言實現

/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/

public class magic_squre_odd {
       static int[][]  matrix;
       static int   n;
       public static void magic_squre_odd_generate()
       { matrix = new int[n][n];
         //所有的數初始化為0

         matrix[0][(n-1)/2] = 1;
         int x = 0,y = (n-1)/2;

         //count:記住已經插入過的數
          for(int count = 2; count<=n*n;count++)
          while(true)
          {
          //先x-1 y+1
        	  x--;
        	  y++;

        	  //判斷是否可以插入
          	  while(true)
                 {//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
                    //判斷是否越界：
                    //越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
                   if(x<0)
                   {
                   	x += n;
                   	continue;
                   }

                   //越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
                   if(y>=n)
                   {
                   	y -= n;
                   	continue;
                   }

        	    //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
                      //如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
                   if (y<0){y+=n;continue;}
                   if(matrix[x][y] != 0 )
                   {
                   	x += 2;y -= 1;
                   	if (x>=n){x-=n;continue;}
                   	if (y<0){y+=n;continue;}
                   	continue;
                   }
                   break;
                 }

                 //將當前的count值賦給選出的空位
                      matrix[x][y]= count;
                      break;
         }
       }

       public static void print()
       {
        	for(int i = 0; i < n; i++)
        	{
        		for(int j = 0; j < n; j++)
        	    {
        			//System.out.println(matrix[i][j]);
        			System.out.print(matrix[i][j]);
        			System.out.print("_");
        	    }
        		System.out.println();
        	}
       }

       public  static void main(String[] args)
       {   //手工輸入n的值，並確保為奇數
             n = 11;
           magic_squre_odd_generate();
           print();
       }
}

以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：

68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54

$4$階幻方算法的Java語言實現

 /**
 * @author: contribute to wikipedia according GNU
 * @description:用於創建4階的幻方
 *
 */

 public class magic_square_4m {

 	/**
 	 * @param args
 	 */
 	static int  matrix[][];
 	static int   n;

 	static void magic_squre_4m_generate()
 	{
 	  //初始化matrix
 		matrix = new int[n][n];

 	  //將matrix裡的位置用數順序排列
 	  int ini = 0;
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 		  for(int j = 0; j < n; j++)
 			  matrix[i][j] = ++ini;
 		
 	  //輸出對調前的樣子
 	  System.out.println("對調之前的樣子：");
 	  print();
 	
 	  //然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 	      for(int j = i + 1; j < n; j++)
 	      {
 	    	  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
 	    	  {   //對不在主付對角線上的數關於中心對調
 	    		  int temp;
 	    		  temp = matrix[i][j];
 	    		  matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
 	    		  matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
 	    	  }
 		  }
 	}
 	
 	public static void print()
 	{
 		for(int i = 0; i < n; i++)
 		{
 			for(int j = 0; j < n; j++)
 		    {
 				System.out.print(matrix[i][j]);
 				System.out.print("_");
 		    }
 			System.out.print("\n");
 		}
 	}
 	
 	public static void main(String[] args) {
         //這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方	
 		n = 4;
 		magic_squre_4m_generate();
 		System.out.println("對調之後的樣子：");
 		print();
 	}
 }

以下是本算法輸出的結果：

對調之前的樣子：
1_2_3_4_
5_6_7_8_
9_10_11_12_
13_14_15_16_
對調之後的樣子：
1_15_14_4_
12_6_7_9_
8_10_11_5_
13_3_2_16_

研究价值

知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。

对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方陣和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。

艺术与流行文化

• 德国画家与雕刻家阿尔布雷希特·丢勒曾在一幅名作《忧郁》(Melencolia I)的角落中画下一个幻方。这个著名的幻方图也被知名工程数学软件MATLAB加入自己的帮助文档中。

参见

• 九宫图
• 九宫算
• 洛书
• 幻圆
• 素数倒数幻方
• 數獨
• 未解决的数学问题
• 吠陀方形
• Frenicle 标准型式
• 数字推盘游戏
• 泛對角幻方

參考資料

延伸阅读

• 高治源. 九宫图探秘. 香港天马图书有限公司. 2004 （中文（香港））. 
• 张道鑫. 素数幻方. 香港天马图书有限公司. 2003 （中文（香港））. 
• 李杭强. 趣味数学幻方. 香港天马图书有限公司. 2002 （中文（香港））. 
• 林正禄. 开拓智力的奇方——幻方. 香港天马图书有限公司. 2001 （中文（香港））. 

外部链接

• 幻方介绍及其建造方法（英语）
• 一個小學老師對幻方的研究